จำนวนตรรกยะและอตรรกยะ

                    แผนภูมิจำนวนจริง

จำนวนตรรกยะ

    

    สมบัติของจำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มโดยที่ b ไม่เท่ากับ 0 จำนวนตรรกยะ จำแนกได้เป็น 3 ประเภทใหญ่ ๆ คือ

1. จำนวนเต็ม (Integer) ประกอบไปด้วยจำนวนธรรมชาติ จำนวนลบ และจำนวนศูนย์ เซตของจำนวนเต็มมักเขียนอยู่ในรูป Z ซึ่งมาจากคำว่า Zahlen (ภาษาเยอรมัน)

2. เศษส่วน (Fraction)

3. ทศนิยม (Repeating decimal)

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียน

ได้ในรูปแบบที่หลากหลาย 

ตัวอย่างเช่น

   รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้ 

  นอกจากนี้ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนยัง

สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้

จบหรือทศนิยมซ้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น

   เป็นทศนิยมไม่รู้จบ

   และ

  เป็นทศนิยมซํ้า เป็นต้น

การเปลี่ยนเศษส่วนเป็นทศนิยม

แบบที่ 1 การทำให้เศษเป็น 10 ,100 , 1000 ,... โดยอาศัย 

ความรู้เรื่องของเศษส่วนที่เท่ากัน เช่น

แบบที่ 2 ใช้หลักของการหารยาว เช่น

สรุป ::: ในเรื่องเกี่ยวกับการเปลี่ยนเศษส่วนให้เป็นทศนิยม เราจะได้ทศนิยมซ้ำศูนย์หรือทศนิยมที่ซ้ำตัวเลขอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น

 หมายเหตุ

 ==> ทศนิยมซ้ำศูนย์ เช่น

อ่านว่า ศูนย์จุดสี่ศูนย์ซํ้า

  ==> ทศนิยมซ้ำตัวเลข เช่น

อ่านว่า ศูนย์จุดห้าสี่ห้าสี่ซํ้า

การเปลี่ยนทศนิยมซ้ำให้เป็นเศษส่วน

ในที่นี้ขอแนะนำ 2 วิธี คือ 

1.การทำให้ตัวที่ซ้ำกันหมดไปโดยการเอาค่าประจำตำแหน่งคูณเข้าไปทั้งสมการเพื่อให้เกิดสมการใหม่

2.ใช้สูตรลัด

จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ เรียกว่าจำนวนอตรรกยะ

      

จำนวนอตรรกยะ

     จำนวนอตรรกยะ(irrational Number) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษ ส่วนa/b เมื่อa และbเป็นจำนวนเต็มโดยที่

bไม่เท่ากับ 0 หรือจำนวน อตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะนั่นเองจำนวนอตรรกยะจำแนกได้เป็น 2 ประเภทใหญ่ใหญ่คือ

1.จำนวนติดกรณ์บางจำนวนเช่นเป็นต้น

2.จำนวนทศนิยมไม่ซ้ำเช่น 5.18118168473465

ตัวอย่างของจำนวนอตรรกยะ เช่น

1.234567891011121314

3.4323223222...

16.79779777977779...

-4.399339933399...

จากตัวอย่างข้างต้น นักเรียนสังเกตเห็นว่า เราไม่สามารถจัดชุดตัวเลขหลังจุดทศนิยมของจำนวนอตรรกยะแต่ละจำนวน ให้เป็นชุดตัวเลขที่ซ้ำกันได้

อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวนอตรรกยะ คือ 

ซึ่งมีค่าเท่ากับ3.141592653589793238462...

คือ อัตราส่วนของความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมต่อความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อนักเรียนคำนวณหาพื้นที่ของวงกลมโดยใช้สูตร 

หรือ คำนวณหาความยาวของเส้นรอบวงกลมโดยใช้สูตร เมื่อ แทนรัศมีของวงกลม มักใช้ค่าประมาณของ เป็น หรือ 3.1416 หรือ 3.142 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด

 

หมายเหตุ p ซึ่งประมาณได้ด้วย 22/7 แต่จริงๆแล้วpเป็นเลข

    ในการศึกษาเรื่องของจำนวนจริง เราแบ่งจำนวนจริงออกได้เป็น 2 ประเภท คือ จำนวนตรรกยะ และ จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่สามารถเขียนได้ในรูปของทศนิยมรู้จบหรือทศนิยมแบบไม่ รู้จบแบบซ้ำได้Pi เป็นจำนวนจริงที่มีค่าเท่ากับอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมกับเส้นผ่าน ศูนย์กลางของวงกลม โจนส์ (William Jones) เป็นบุคคลแรกที่นำเอาอักษรกรีก Pi มาใช้ โดยให้มีค่าเท่ากับ อัตราส่วนดังกล่าว ซึ่งท่านนำมาใช้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1706 ในหนังสือ A New Introduction to the Mathematics แต่ยังไม่เผยแพร่จนกระทั่ง ออยเลอย์ (Leonhard Euler) ได้นำเอาการกำหนดค่าของ Pi ดังกล่าวมาใช้ในงานของท่านมากมาย จนกระทั่งเป็นที่ยอมรับและใช้กันมาจนถึงทุกวันนี้

          ถ้าเราย้อนไปดูอดีตของความพยายามในการหาค่าของอัตราส่วนของเส้นรอบวงกลมกับ เส้นผ่านศูนย์กลางเราจะ  พบว่าในสมัยเริ่มต้นค่านี้จะถูกประมาณด้วย 3 ชาวอิยิปต์ให้ค่า Pi ไว้ เท่ากับ 3.1604 อาร์คีมีดีส (Archimedes) ได้ให้ของเขตของค่า Pi ไว้ว่า ค่า Pi จะมีค่าอยู่ระหว่าง 22/7 กับ 223/71 ซึ่งให้ความถูกต้องของค่า Piไ ด้ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 2ว่ามีค่าเท่ากับ 3.14 สำหรับวิธีที่    อาร์คีมีดีสใช้เป็นวิธีการเพิ่มจำนวนรูปหลายเหลี่ยมลงในวงกลม วิธีดังกล่าวได้ถูกนักคณิตศาสตร์ท่านอื่นมาปรับปรุงเพื่อใช้หาค่า Pi ที่ถูกต้องมากยิ่งขึ้น นอกจากนี้ยังมีวิธีอื่นๆ รวมทั้งการใช้คอมพิวเตอร์ในการคำนวณหาค่า นอกจากความพยายามในการหาค่าที่แท้จริงของค่า Pi แล้วก็ยังมีนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อลัมแบร์ต (Johann Heinrich Lambert) ได้พิสูจน์ว่า Pi เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยที่ท่านได้แสดงการพิสูจน์ว่า ถ้า x เป็นจำนวนตรรกยะที่ไม่เท่ากับศูนย์ แล้ว tan x ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ เนื่องจาก tan = 1 ผลที่ตามมาก็คือ Pi/4 หรือ Pi ต้องไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

               
แหล่งที่มา
https://sites.google.com/site/bumbim54811426/...tn.../2-1canwntrrkya
http://www.school.net.th/library/create-web/10000/science/10000-988.html